Optimal vwap handelsstrategi and relativ volym

Optimal VWAP Trading Strategy och Relative Volume Abstract: Volymviktat genomsnittligt pris (VWAP) för ett lager är totalt omsatt värde dividerat med total omsatt volym. Det är en enkel kvalitet på exekutiv mätning som är populär hos institutionella handlare för att mäta prispåverkan av handelslager. I det här dokumentet används klassisk genomsnittlig variansoptimering för att utveckla VWAP-strategier som försöker handla bättre än marknaden VWAP. Dessa strategier utnyttjar förväntad prisdrift genom optimalt förladdningsbelastning eller återladdningsvolym från den minsta VWAP-riskstrategin. Relaterade verk: Det här föremålet kan vara tillgängligt någon annanstans i EconPapers: Sök efter föremål med samma titel. Exportreferens: BibTeX RIS (EndNote, ProCite, RefMan) HTMLText Fler dokument i Research Paper Series från Quantitative Finance Research Center, University of Technology, Sydney, Box 123, Broadway, NSW 2007, Australien. Kontaktinformation på EDIRC. Seriedata som underhålls av Duncan Ford (). Den här sidan är en del av RePEc och all data som visas här är en del av RePEc-datamängden. Är ditt arbete saknat från RePEc Så här bidrar du till. Frågor eller problem Kontrollera EconPapers FAQ eller skicka mail till. Optimal VWAP Trading Strategy och Relativ Volym Transskription 1 KVANTITATIV FINANSFORSKNINGS CENTER KVANTITATIV FINANSIERINGSSKÄR Forskningspapper 21 sepember 27 Opimal VWAP Trading Sraegy och Relaive Volume James McCulloch och Vladimir Kazakov ISSN 2 Opimal VWAP Trading Sraegy och Relaive Volume James McCulloch Vladimir Kazakov Augus, 27 Absrac Volym Vägt Medelpris (VWAP) för en sok är oal raded värde dividerat med oal raded volym. Jag är en enkel kvalité av execuion mätare populära med andra raders o mäta han pris impac av rading sock. I det här dokumentet används klassiska medelvariationer och utvecklar VWAP-satser med hjälp av en öl som han markerar VWAP. Dessa analyser exploaterade prisdrift genom opimalt fron-loading eller back-loading raded volym bort från den lägsta VWAP risk sraegy. c Copyrigh James McCulloch, Vladimir Kazakov, 27. Conac 1 3 1 Inproducion och Moivaion Volymvägt genomsnittligt pris (VWAP) radering används av stora (ingiuional) raders o rade stora order i finansiella markeringar. På grund av att han använder sig av VWAP-radering är han medveten om att stora beställningar radade i finansiella marknader kan leda till ett sämre pris jämfört med mindre order. Detta är känt som att han likvärdigt medför att det inte är någon marknad eller en marknad för att beställa stora order. VWAP order beställer och adresserar sin cos genom benchmarking han pris av radering han stor order igen han volymen vägde genomsnittspriset för alla rades under en viss period av ime (i regel 1 rading dag). Detta gör det möjligt för alla likvida medel som associeras med att han stor order o ska köpas. VWAP radering erkänner också ha han nyckel och minimera hese coss är att bryta upp stora order upp i ett antal subordrar execued över hans VWAP period på ett sådant sätt att o minimera insanan flytande efterfrågan. VWAP-priset som kvalité av execuion-mätare var granar som utvecklats av Berkowiz, Logue och Noser 4. De argumenterar (sidan 99) har en märkningssimulansmätning sysem kräver ett referenspris ha är en objektiv prissättning av priser ha kan uppnås i alla relevanta raderingsperiod med en slumpmässigt vald rader och höna definierar VWAP som ett lämpligt referensvärde. Ett orörligt papper i modellering av VWAP var förskräckt av Hizuru Konishi 15, som utvecklade en lösning och minsta risk VWAP radering sraegy för en prisprocess som modellerades som Brownian Moion Wihou Drif (dp sigma dw). I sitt papper är han upplösning o en prisprocess ha är en sammanhängande semimaringale, P A M P, där A är prisdrift, M är en maringale och P är hans ursprungliga pris. Jag har bevisat att ha en prisdrift A betyder ingen risk för VWAP. Reläivvolymprocessen X är också introducerad, definierad som den dagliga kumula-tiva volymen V dividerad med oal slutlig volym XVV T. Jag visas ha VWAP är nauralt definierad med hjälp av relativ volym X raher han cumulaive volym V. Det minsta VWAP riskhanteringsproblemet är generalized ino han opimal VWAP rading problem med hjälp av en medel-varians ram. Den opima VWAP radering sraegy x här blir en funktion av en rader definierad riskavvikningskoefficient lambda. Det här är relevant eftersom VWAP-raderna är vana stora injektionsrader och han har stor storlek. VWAP kan vara prisupplysande information om han kan använda VWAP-rader för att han ska kunna använda sig av sin clien. Den optimala sraegyen är hönan obained för VWAP radering som 2 4 inkluderar expeced prisdrift EA över sin VWAP radering period. Detta kan uttryckas i följande medianvariationer (subjec o-sammanslagningar på sraegy x) där V (x) är skillnaden mellan radade VWAP och markera VWAP som en funktion av han radering sraegy x. x max E V (x) lambda Var V (x) x I visas ha för alla möjliga VWAP rade sraegies x här är alltid kvarvarande VWAP-risk. Denna restrisiko visas o vara proportionell o han prisvariation sigma 2 av han strump och varians han relaive volymprocess VarX. När han återlämnar volymprocessvarianansen empiriskt undersökts i sek tion 3 hittas jag o vara proporional o han är inverterad i strumpa slutgiltiga rader K höjde han makt.44. Detta är av betydelse o VWAP raders eftersom jag formaliserar honom inuiion ha raded VWAP risken är lägre för höga urnover strumpor. min x VarV (x) sigma 2 T VarX d sigma2 K.44 Slutligen undersöks en praktisk VWAP radering sraegy med hjälp av raderingsfack. Den addiional bin-baserade VWAP-risken från att använda diskreta volymfält o rade VWAP visas o vara O (n 2) för en binär approximation av hans opimal-linjära VWAP radering sraegy x. 2 Modellering VWAP Den sochasiska VWAP-modellen är baserad på det lagade probabili-rummet där han observerade progressivt filraion F, (Omega, F, F F, P). Modellen definierar också en filraion G förstorad med kunskap om hans slutgiltiga volym av hans VWAP socka G F sigma (v T). Det resulterande registrerade probabilitetsutrymmet (Omega, F, GG, P) används o definiera VWAP med hjälp av sin reläive volymprocess X. 3 5 2.1 En sochasisk modell av pris P Prisprocessen P antas o vara en sriklyposiiv, sammanhängande special) semimaringale wih Doob-Meyer decomposiion: PPAMP gt Där A är prisdrift är M en maringale och P är det ursprungliga priset. 2.2 En sochasisk modell av relaive volymen X Cumulaive volym anländer i sin markering som discreet rades, hans sugess ha han cumulaive volymprocess V bör modelleras som en markerad poinprocess. En väldigt generell poinprocessmodell är han Cox 1 poinprocess (kallas också han dubbelt sochasic Poisson poinprocess, en enkel (ingen samspelande poin) poinprocess med en allmän slumpmässig inansiy. Cox-processen har använts o modell rade av rade marke beteende av ett antal finansmarknadsforskare inklusive Engle och Russell 1, Engle och Lunde 1, Gourieacuteroux, Jasiak och Le Fol 11 och Rydberg och Shephard 18. Om rade coun N är modellerad som en Cox-process, länderna kan avskalas av relaive rade coun genom att han enkelt utövar att dela han inra-day coun (N a K) av hans sista rade coun (NTK). Detta definierar att han relaive rade coun process R, KNNT a. Resultatet poin processen är inte längre gör han Cox som han har blivit omformad i en dubbel sochasisk binomial poinprocess med kunskap om att han slutligen raderar förstorar han observerade filraion F sigma (n T) (McCulloch 16). Han är uppmärksam på ineres när han utför en VWAP rade ingen relaive rade coun R, K bu han reläed relaive vol ume X. Detta kan modelleras med en markerad punktprocess där varje händelse eller poin är associerad med ett slumpmässigt värde (han markerar) representativ radevolym. Sålunda specificeras varje rade av ett par värden på ett produktionsutrymme, han ime of occurrence och ett mark (ineger) - värde som specificerar sin volym av rade RZ. 1 Namngivna en Cox-process i erkännande av David Cox s 1955 9 papper som han inroduced han dubbelt sochasic Poisson poin process. 4 6 V N i1 Relävolymen X är högen han raio av en slumpmässig summa specificerad av han dubbelt sochasic binomial poin-processen som han grundade processen över han icke-slumpmässig summa av alla rade volymer. V I X V V T N I1 V i K i1 V I Relävolymprocessen X är den kumulära volymprocessen som fördjupas av kunskap om slutvolymen (och husets slutliga rader) och adapts o G F sigma (v T). Noe X är en semimaringale med resp. G eftersom hans filraion förstoras av sigma algebra genererad av en slumpmässig variabel, slutlig volym V T, med ett antal antal möjliga värden (följd 2, sid 373 Proer 17). 2.3 En sochasisk inegralmodell av VWAP En som han berättar för att han är populär för VWAP som ett mått på ordningsutförandet är det han är enkel att definiera - det är värdet av alla 2 rader dividerat med han oal volym av alla rader. Om P i och V i är han pris och volym respekterad av han N i sin VWAP-period, är högen VWAP lätt jämförbar som: vwap oal radedvärde oal raded volym N i1 P i V i N i1 V i Alernivt definierar han VWAP kan vara skriven i conjugate ime noaion. Le V är han cumulaive volymen raded a ime och P är han 2 Inte alla rader accepteras som tillåtliga i en VWAP-beräkning. Upptagna rader är fastställda av marknadskonventionen och är generellt på marknaden. Avmarkeringsrader och korsningar är i allmänhet uteslutna från hans VWAP-beräkning eftersom dessa rader är avskilda från att han markerar och representerar volymen där en slumpvis vald rader 4 canno paricipae. 5 7 Ime varierande pris på en marke ha rades på han ime inerval, T. Sedan definieras VWAP av han Riemann-Sieljes inegral. vwap oal raded värde oal raded volym 1 VTTP dv (1) Undersöker han inegral ovan, jag är inuiive ha jag relaes o han relaive volym process XVV T. Använda han heir av iniial utvidgningar av filraion (se Jeulin 14, Jacod 12, Yor 19 och ändringsförslag 2) VWAP kan uttryckas i ermar av X. vwap TP dx (2) Bevis. Säkringen ha han vwap slumpmässig variabel är densamma i equaions 1 och 2 under filraions F och G bevisas under hans förhoppning ha han prisprocess P är oberoende av sin slutliga volym slumpmässig variabel sigma (p) sigma (v T), , T. Detta innebär att ha P är också en G-semimaringale med samma Doob-Meyer-dekomposiion som F (heirem 2, sid 364, Proer 17). Oberoende med V T innebär att han prisprocess P är oförändrad av han förstorad filraion G. Cumulaive volym V anländer till han markerar som discreet rades och modelleras som en markerad poineprocess (se avsnitt 2.2 nedan). Noing ha V som en ren hoppprocess har finie variation under filraion F och han förstorad filraion G, jag är lätt visad att han Riemann-Sieljes inegrals av inegrand Pris P (oförändrad av han förstorad filraion) och inegraorvolym V är lika med vilken han respekterar filraion F och han förstorad filraion G. Le tau jag, jag 1. N är han N hoppa imes för han volymprocessen V på hans inerval, och V jag är han motsvarande hoppa magniudes. Därefter är han Riemann-Sieljes inegrals med vilka han F och G är likvärdiga, han är samma Riemann-Sieljes summa för att han volymer hoppar imes och magniudes V jag är samma i boh filraions och han prisprocessen är densamma i boh filraions (av assumpion). P s dv s FN i1 P taui V i P s dv s G 6 8 Noe är han ärm (1V T) adaped o G. 1 VTP s dv s FP s dv s VTGP s dx s G Detta är en viktig insigh, VWAP är nauralt definierad med hjälp av relaive volym X raher han acual volym V. En implikation av att använda relaive volymen är ha vanliga relaive inraday feaures i han dagliga rading av strumpor med olika skillnader kan vara utnyttjas för VWAP radering. Också skillnaden är mellan radad VWAP och markering VWAP som en funktion av han radering sraegy V (x) är convenienly definierad med hjälp av relativ volym. V (x) T P dx T P dx T P d (x X) Med inegraion av pars 3 kan hans inegral formas i en sochasic inegral och quadraic covariaion. V x X, P X X, X X, X X X, PT X X, P där han covariaion process mellan x X och P. Eftersom han prisprocess P är sammanhängande återställer han volymen X antas o vara en markerad poin (ren hopp) process och x är bestämd, är han quadraic covariaion erm noll. Också nej ha PT (x TXT) han inegraion av pars equaion förenklar o: V (x) T (X x) dp (3) 3 Inegrand av hans sochasic inegral X är en lef coninuous (predicable) version av hans relaive volymprocess X där för X definieras som han lever limi av X, X lim s X s. 7 9 3 Empiriska egenskaper hos relaive volymen X Relativ volym som själv normaliserade rade couns analyserades i McCulloch 16, där det finns fakta om empirisk samling och analys. I korthet användes New York Sock Exchange (NYSE) från Daqa TAQ daabas, varav den har använts av alla strumpor från 1 juni 21 till 31 aug 21 (en tid av 62 raderingsdagar 4) för ett oal av 23 158 relaive rade volym prov pahs för alla strumpor. Den relaive rade volymen var sammansatt i en D hisogram wih ime i minus (39 minus 1 endpoin) i sin x-axel och reläivvolym (ett primärnummer 251 o undvik bin-gränser plus pluspoints) i han y - Axel. 3.1 Expeced Relaive Volume EX är S Shaped Alla professionella equiv raders vet att ha markeringar är ibland upptagna på marknaden öppen och markera nära och mindre upptagen under han mitt i racing dagen. Det här är han klassisk U-form i raing inensiy som finns i alla större ekvivalenter 5 och är genom definitionen avledande av han expecaion av han relaive volym dex d. Figur 1 visar att han förväntade reläivevolymen EX för fyra grupper av strumpor där det varierar från rade couns på han NYSE. Expaivevolymen EX kan approximeras med vilken han följer polynom. EX 5 3T 22 T., T. (4) 3T Höga omloppssockor har lägre VarX Den andra feiren av empirisk såg lätt i Figur 2 är att han har en låg urnover socka (SUS), o har en högre volym runt om han menar reläiv volym (visad med röda linjer) han har höga urnover socka (TXN). 4 3 juli 21 (halvdagskrig) och 8 juni 21 (NYSE Compuer malfuncion försenad marknadsåtgärd) uteslutes från hans analys. 5 För vidare diskussioner och utredningar av hans orsaker till honom U-formad inraday marke seasonaliy se Brock och Kleidon 5, Admai och Pfleiderer 1 och Coppejans, Domowiz och Madhavan 8. 8 10 NYSE Medel Relaive Volume med Linear Trend Removed EX () - T. 8 Variaion från linjär tid.6 Trade Coun Band 51-1 Trades 11-2 Trades Trades Trades.2 Analys ca. 9: 3 1: 1: 3 11: 11: 3 12: 12: 3 13: 13: 3 14: 14: 3 15: 15: 3 16: Marke Time Figur 1: Medelvärdet av han reläive volym EX för strumpor wihin differen genomsnittligt antal dagliga rader. Här har han konsekvent raderat raderats, E X T (så alla medel är mononiskt ökande funcion av ime). Den polynomiska approximationen (eqn 4) visas som den svarta linjen. Den här inulationen är Correc och är hans andra viktiga insikt i VWAP-radering - han är volontär om att han återupplöser volymprocessen. X av låga urnover-strumpor är högre hanhåriga strumpbyxor. Figur 3 visar han empirisk ime indexerad varians av hans reläive volymprocess VarX för olika intervall av antal dagliga rader. Jag har en invered U-form där han varians är noll a och T, liknande den ime indexerade variansen av en brownian bridge. Strumpor med lägre antal dagliga rader har högre variation. Avvikelserna av den återstående volymprocessen för strumpor med ett annat än ett slutligt rade-land K kan empiriskt skalas av en enda kurva genom att den ska ligga genom slutliga raderna, höja sin kraft.44 (K.44). Figur 4 visar att han skalade empiriska variationer. 9 11 1.8 Medel SUS TXT TXN Exempel Sock Inraday Relaive Volym Trajecories Relaive Volume Execued. 11: 12: 13: 14: 15: 16: Figur 2: Detta diagram visar ypical relaive volym rajecories för 3 strumpor som representerar låga, medelstora och stora urnover strumpor. Den röda linjen är han förväntad relaive volym EX för alla strumpor raderar mer han har en dag på han NYSE under den tiden. SUS är Sorage USA, TXT är Texron Incorporaed och TXN är Texas Insrumens. Den 2 juli 21 registrerade hese strumpor 11, 946 och 2183 rader motsvarande. 1 12 NYSE Oskalad Reläiv Volymvariation VarX () 4. 3.5 3. Handel Coun Band 51-1 rades 11-2 rades 21-4 rades rades 2.5 Varians 2. 1.5 1..5. 9: 3 1: 1: 3 11: 11: 3 12: 12: 3 13: 13: 3 14: 14: 3 15: 15: 3 16: Marke Time Figur 3: Den inverse U-formade Ime-indexerade variansen för relaive volym Var X. Nedre rade coun sockor har en högre varians för Var X. NYSE Relaive volymvariation VarX () Skalas för Differens Final Trade Couns av K.44 Trade Coun Band 51-1 rades 11-2 rades 21-4 rades rades Skalad Variation 9: 3 1: 1: 3 11: 11: 3 12: 12: 3 13: 13: 3 14: 14: 3 15: 15: 3 16: Marke Time Figur 4: Avvikelserna av varierande skala varierar Var X K. 44 för strumpor som skiljer sig från slutliga räkenskapsrapporter K. 11 13 4 VWAP Trading Sraegies 4.1 Leverantörsrapportering Varje bestämd räkning sraegy x är endast möjlig om jag överensstämmer med vad som gäller nedan. Den andra och den andra konsolen är inte sriklyt nödvändig, bibehålla en uni-direcional sraegy där köp VWAP-raders bara köper strumpor och säljare säljer bara strumpor. 1. Trader sars rading han VWAP sraegy a när x och har raded han hela sraegy a T när x T Den återstående volymen för han sraegy mus är alltid mellan zero (nohing har raded) och en, all ordens volym raded, x 1, T. 3. Den sraegy musen är mononiskt icke-minskande, xx delta VWAP Handelsstorlek I är inuiiv och om han har en större grad av radering, har han VWAP-raderstyrning, desto lättare är jag med att han markerar VWAP-priset. I hans limi kontrollerar han raderar 1 av radad volym och exacly bestämmer att han markerar VWAP oberoende av radering sraegy. Jag verkar tydlig ha VWAP-risken är proportionerlig, han har raddvolym. Han har inte en VWAP-rader och hans inuiion är quanified nedan. Den reläiva volymprocessen för oher markera raders X antas vara oberoende av han radering sraegy x adoped av hans VWAP rader. Marke relaive volymprocess X kan vara skriven som en vägd summa av den reläiva volymen av oher marke paricipans X och han VWAP rader x. Om V är han cumulaive volymprocess av ha, innehåller inte VWAP-radervolymen, höns han återger volymen av öhermark paricipans X definieras: XVVT 12 14 På liknande sätt återuppliver han volymen sraegy av honom VWAP rader är helt enkelt han rader slutlig cumulaive volym v T delad genom cumulaive volym a ime, v. xvv T Proportionen 6 beta av han ole marke raded av han VWAP rader kan beräknas. beta v V T v T Den förväntade oal relaive volymen (känd i G) kan brytas ner i den relaive volymprocessen av andra markeringsparametrar X och han bestämmer sig för att radera hans VWAP-rader. X (1 beta) X betax Med hjälp av de ovan angivna definitionerna kan V (x) omvandlas som: V (x) T (X x) dp (1 beta) T (X x) dp I följande exposiion antas jag ha beta Liten 1 och alla O (beta) ermar ignoreras. 4.3 Risken för VWAP Sraegies Risken för radad VWAP wih rading sraegy x uttrycks lätt med equaion 3. Var V (x) Var (X x) dp 6 Noe ha beta är känd under han förstorad filraion GF sigma (v T) och en slumpmässig variabel under F. 13 15 Med sin semimarala generalizaion av Io s isomery kan hans varians vara främmande som: Var (X x) dp E (X x) 2 dp, P Eftersom han pris semimaringale P antas vara linjär, driver han A är slumpmässigt och jag har bevisat att jag inte har någon förklaring på VWAP-risken och han kan VWAP-risken vara förnuftig med hjälp av han Maringale componen av hans Doob-Meyer-dekomposiion. P M A P Var (X x) dp E (X x) 2 dm, M (5) Bevis. Ingranden av eqn 5 är identiska, så genom att han är Riemann-Sieljes inegral, är han likvärdig med ekvation 5 om han wo inegraing processer, han quadraic variaions, är lika (ae) M, MP, P. Användande han polarizaion ideniy för quadraic covariaion. A, M 1 2 (A M, A M M, M A, A) Driftprocessen A är kontinuerlig med antagande och därför är den kvadriska covariaion erm noll (Jacod och Shiryaev 13, sid 52) A, M. Även han drivprocess A är förutsägbar, linjär och avgränsad variabel så att han driver fyrhjulsvariationen är noll (Proer 17, heirem 22, sidan 66). A, A och han polarizaion förenklar o: P, PAM, AMM, M 14 16 Eftersom han maringale erm av han prisprocessen är konsekvent kan han maringale representativ heorem (Proer 17, heirem 43, s. 188) skriven enligt följande för en konjunkturbar predikabel process sigma. M sigma s dws Genom att använda sin representation kan han VWAP-varians av equaion 5 förenklas: Var V (x) E (X x) 2 dm, ME (X x) 2 sigma 2 d (6) 4.4 Minsta risk VWAP Sraegy Jag verkar rimlig ha en opimal raing sraegy x är en sårig ha är nära o X wihou någon kunskap om hans akuta oukom av X. Således bör han vara otrolig med att han, genom att stänga av, stänger av relaive volym x EX. Detta visas nedan. Efter Konishi 15 kan hans ekvation sönderföras som: x min x 1 Var V (x) min x 1 (X) 2 E 2x X x 2 sigma 2 d min x 1 x 2 E sigma 2 2 x EX sigma 2 d min x 1 min x 1 (E sigma 2 x 2 EX sigma 2 2 x E sigma 2 (x EX) sigma 2 2 e E sigma EX sigma 2 2 E sigma 2 2) EX sigma 2 2 E sigma 2 d 17 Detta minimeras när : x EX sigma 2 E sigma 2 E Cov X, sigma 2 XE sigma 2 Således är hans sammanslagna lösningen: x om om E Cov X, sigma 2 X 1, E sigma 2 1 E Cov X, sigma 2 X, E sigma 2 E Cov X, sigma 2 X, oherwise. E sigma 2 (7) Där Cov X, sigma 2 är han kovarians mellan relaive volym X och sokprisvariationen sigma 2. I finansiella marknader är hans positiva relaionship mellan radievolymen och volymen en syliserad fas, se Con 7, Clark 6 och Aneacute och Geman 3. Därför, eftersom han expaeion av relaive volymen EX ökar mononalt och han är kovarians mellan relävolymen och variansen är icke-negativ Cov X, sigma 2, är han minst risklösning (eqn 7) möjlig. Några har han antagit att han återupplöser volym och sokprisvariation är oberoende eller sokprisvariation är en bestämd funcionhöna, som han har en covariance erm är noll och han minskar risken för att han eller hon utlöses av den återstående volymen x E X. 4.5 Ej avtagbar Återstående risk för VWAP-radering Återstående risk är den lägre bunden av VWAP risk kan inte elimineras genom att välja en radering sraegy x. Subsauion av eqn 7 ino eqn 6 ger honom följande bundet till han kvarvarande VWAP-varians: min x VarV (x) TEX 2 sigma 2 EX sigma 2 2 E sigma 2 d 16 18 Om prisvolymen antas consan circsigma 2 sigma 2, höns uttrycket ovan förenklar att han följer: min x VarV (x) cirksigma 2 T VarX d Med hjälp av han skalering av VarX som hittades ovan i hans NYSE daa (se avsnitt 3) är den kvarvarande VWAP-risken proportionell Räkna med dig. min x VarV (x) Nackdelar 2 K.44 Så en socka med 1 till och med en annan sockelsocka med samma prisvariation har ungefär en enhet som kvarvarande VWAP-risk. 4.6 Opimal VWAP Sraegy wih Expeced Drif I pracise kan en rader önska o bea VWAP. Detta är rimligt eftersom han VWAP-rader kan ha prisupplysande information om en socka. En mäklare kan utnyttja sin privata information för att han ska kunna utnyttja sin klient genom att anta en VWAP rading sraegy x ha är mer riskfylld han minsta varians sraegy. Denna drivning opimal sraegy x kan hittas med hjälp av medelvariation. För bestämdhet antas hans VWAP-order vara en köporder i sitt papper. Således definieras beaing marke som en posiativ expecaion EV (x). Utvidgning av expecation och noing ha han maringale ransform har noll expecation: EV (x) E (X x) da E (X x) dm E (X x) da Den quadraic covariaion mellan hans linjära prisdrift A och han relaive volymprocessen är noll X, A Därför förlust av allmänhet 17 19 han kovarians mellan prisdrift och relativ volym kan antas o vara noll, CovA, X. Denoing micro EA, hans utmaning av hans VWAP-ombud kan förenklas om han följer: EV (x) T (EX x) mikro d (8) Generellt är han inte VMP-sraegy Sraegy inkluderar inte han förväntade sig att han var VWAP rade. En sraegy ha inkluderar expeced reurn kan specificeras som en klassisk medelvariation genom att använda en rader specificerad riskaversion consan lambda. x max EV (x) lambda Var V (x) x 1 Lösning för sitt opimizaion problem: x max E (X x) dp x 1 lambda Var (X x) dp min lambda x 1 E (X x) 2 sigma 2 X x) mikro d lambda min x 1 (x) 2 mikro d 2lambdaE sigma 2 Ovanstående minimeras när: x EX sigma 2 E sigma 2 mikro 2 lambdaE sigma 2 E Cov X, sigma 2 X Esigma 2 mikro 2 lambdaE sigma 2 (9 ) Den sammanslagna lösningen av den maximala VWAP sraegy wih drif: 18 20 om x om E Cov X, sigma 2 XE sigma 2 E Cov X, sigma 2 XE sigma 2 E Cov X, sigma 2 XE sigma 2 mikro 2 lambdaE sigma 2 mikro 2 lambdaE sigma 2 mikro 2 lambdaE sigma 2 mikro 2lambdaE sigma 2, 1, 1, öherwise. (1) Ett exempel på Drift Opimal VWAP Trading Ett enkelt exempel på opimalt fron-loading och back-loading han VWAP rading sraegy o exploo Expected prisdrift är illusraterad av exempel på uppskattning sraegies med en positiv och negativ förväntad prisdrift. I dessa exempel är hans VWAP-tidsperiod en dag T 1. Den förväntade drivningen EA antas o vara en enkel linjär funktion av den som han har slingan har los 2 eller fått 2 vid slutet av han radering dag micro plusmn.2. Strumpans volym (sd dev.) Är en consan 2 (sigma 2 circsigma 2, 2 2). Riskavvikelse koefficien lambda Med dessa antaganden är han opimal drivningspolicy av eqn 1: x om E X plusmn.7 1, 1 om E X plusmn.7, E X plusmn.7, oherwise. Jag är tydlig från det här exemplet ovanför han är optimala för att driva sig själv, så att han / hon sitter uppåt (fron-loading) för en positiv expeked drivning EX gt och nedåt (bakåtladdning) för en negativ expeced drivning EX lt. Dessa opima sraegier har disconinuiies a och 1 där volymen är vansinnigt förvärvad. Detta är orealistiskt eftersom jag antar att han 19 21 kan marknadsföra sig för att försäkra sig om att eliminera hans vederlag för VWAP-radering och fördröja den efterfrågan som han har på VWAP-perioden på ett sådant sätt att man minimerar insanan likvida efterfrågan. Opimal VWAP Trading wih Consrained Trading Rae The Soluion är en addiional konservering, han har ett problem genom att se en övre gräns, o han har en onanan flytande och kräver nu max. Denna likviditetsbegränsning kan specificeras enligt följande: dx dv max Den optimala sraegyen här konsumeras med hjälp av han ser D av möjliga sraegier x som ett rektangulärt i (x,) mellanslag med den övre lef-poin a (1) och den övre riktpunkten a (1, T), se figur 5. Lef x L och Righ x R gränser för region D definieras som inegrals av max max rae v max. x L vs max ds x R 1 T mot max ds Alla poinner är righ av x R och o han är av X L är han den möjliga regionen D. Den optimala sraegy är o rade efter obehandlad sraegy (9) inuti D ensam av hans gränser av D möts och höns ger en maximalt tillåten rae. om E Cov X, sigma 2 XE sigma 2 mikro 2 lambdaE sigma 2 x L, x L x om E Cov X, sigma 2 XE sigma 2 mikro 2 lambdaE sigma 2 x R, x R (11) E Cov X, sigma 2 XE sigma 2 mikro 2lambdaE sigma 2, oherwise. 2 22 Bevis ha (11) är han opimal sraegy för VWAP rading problem med sammanslagna liquidiy ges i bilaga. Exemplet ovan är nu omtänkt nu för ime-dependen konsoliderad liquidiy, där han maximal rae rading antas vara proportionerlig och han expecaion han raing rae av han markerar (i-derivat av EX) 1,8 x LD EX.6 x .4.2 osammanhängande radering sraegy x RT 1 Figur 5: Den optimala back-loading VWAP sraegy för likvärdig racing i exempel. v max 2 d d E X Resultatet av VWAP-radering sraegy-återladdningsvolymen längs x, som visas i Figur 5. 21 23 4.7 Båtar - VWAP Sraegy Implemenaion De primära sraegierna x som diskuterats tidigare är linjära. Det är jag antar att han har en VWAP-rader som har kontroll över rading-rajecory, vilket är något som helst när jag raderar. Detta är orealistiskt, raders behöver ime o implemen sraegy och hitta rading couns-paries o tillhandahålla liquidiy. För att o modell VWAP med osäkra likvida är en svagare antagning adoped kan delningen indelas i antal perioder där rader har kontroll över den genomsnittliga raderingen under varje period. Tha är, han har raderar kontroll över radering o guaranee ha han raded volym en början och han slutet av varje period är lika o x. Dessa perioder kallas ime-rutor. Den acual rajecory x genereras av en slumpmässig liquidiy process och kan deviae från x inuti han bin bu kommer alltid att sammanfalla en is gränser Cos av en subopimal VWAP Trading Sraegy VWAP bin rajecory x är subopimal och han betyder varians cos av subopimal VWAP radering sraegies C (x) är formeln nedan. C (x) () EV (x) lambdavarv (x) () EV (x) lambdavarv (x) E (xx) mikrolambda (Xx) 2 (Xx) 2 sigma 2 d T (xx) (mikro 2lambdaEsigma 2 x 2lambda Esigma 2 x) Lambda (xx) 2 Esigma 2 d Noe ha han när han raderar rajecory sammanfaller med okonsoliderad opimal soluion med drev (eqn 9) han höjar ärm i hans inegral elimineras och han är en subopimal sraegy förenklas. C (x) lambda T (xx) 2 Esigma 2 d (12) 22 24 4.7.2 Den bundna kosningen av en Bin Trading Sraegy Bins är utformad genom att dela upp sin VWAP racing period, T ino b ime perioder där han bin gränsen imes för bin jag tänker som tau i 1 och tau jag. tau lt tau lt lt tau i t lt lt lt tau b T Genom konsultation x tau i 1 x tau i och x tau i x tau i. Eftersom x och x är icke-minskande funcioner ha är mindre han eller lika, är han avvikande mellan hemmen begränsad. xxx tau ix tau i 1 tau i, tau i 1 (13) Med hjälp av (13) ger vi från (12) han följande bundet till ytterligare cos från behållarna C (tau 1. tau b) b (x tau ix tau i 1) i1 taui tau i 1 (micro 2lambda (Esigma 2 X Esigma 2 x)) db taui (x tau ix tau i 1) 2 i1 tau i 1 lambdaesma 2 d (14) Lika volymkorgar Lika volymkorgar används av praciioners. De definieras som x (tau i) x (tau i 1) 1 bi Bin cos-bundet (14) för racing med obehandlade rae hönor som han bildar: C (tau 1. tau b) 23 1 b 2 lambda T Esigma 2 d (15) 25 Således lägger han till en extra VWAP-risk från att använda diskreta volymfält o rade. VWAP beror på han antal fack b som O (b 2). Opimal VWAP Bin Sraegy. De optimala facken är obained genom att minimera han bunden (14) bin gränsen imes tau. Firs-orderförhållandet för opimaliy är. C (tau 1. tau b) tau k Differensierande ekvation 14 med respekterande i bingränsen imus tau ger: (2x tau ix tau i 1 x tau i1) (micro taui 2lambda (Esigma 2 tau i X taui Esigma 2 tau (Esigma 2 X Esigma 2 x)) D tau i 1 taui tau i (micro 2lambda (Esigma 2 X Esigma 2 x)) D lambdasigmatau 2 ix tau I 1 ( x tau i 1 2x tau i) x tau i1 (x tau i1 2x tau i) 2lambda d taui1 dtau x tau i (x tau ix tau i 1) Esigma 2 d (x tau i1 x tau i) tau i 1 tau I Esigma 2 d (16) Lösning av hans equaion för tau kan jag ses som en kompromissoperation som minskar bin-baserad addiional cos genom varierande tau i condiional på (som en funktion av fasta) tau i 1 och tau i1. Jag appliceras rekursivt o han iniial se bin bin (t. ex. volymen fack) unil konvergens o han opimal fack. 24 26 I exemplet i figur 5 placeras binfält av 1 lika volymfack för att han likvärdigt sammankopplade VWAP sraegy och 1 opimal bingränser obained genom att applicera rekursivt förbättrad operation visas i Figur 6. Reduktionen i den extra bin-baserade risken från han använder sig av opimal insead av likvärdiga fack är 4.65..8.6 opimulära fackhålighetens soluion.4.2 fack med lika stora volymer Figur 6: Den opimala sraegy han exemplifierar den sammanslagna liquidiy och motsvarar 1 lika stora fack och 1 opimal fack. 25 27 5 Slutsats och sammanfattning Detta dokument bygger på hans papper av Hizuru Konishi 15 genom att utveckla en lösning o ett minimalt minimalt riskvWAP-problem. Volymprocessen antas o märkas pekprocessen och han prisprocess o vara en sammanhängande semimaringale. Jag visas ha VWAP är nauralt definierad med hjälp av den reläiva volymprocessen X som är den dagliga kumula-tiva volymen V dividerad med den slutliga volymen XV V T. Det nya uttrycket för hans risk för VWAP-radering är härledd. Jag har bevisat att hans risk inte beror på hans prisdrift. The minimum risk sraegy of VWAP rading is generalized ino a meanvariance opimal sraegy. This is useful when VWAP raders have price sensiive informaion ha can be exploied by a VWAP sraegy. The cos of exploiing price sensiive informaion is deviaion from he minimum risk VWAP rading sraegy by fron-loading or back-loading raded volume o exploi he expeced price movemen. I is shown ha even wih a minimum risk VWAP rading sraegy is implemened here is always a residual risk. This residual risk is shown o be proporional o he price variance circsigma 2 of he sock and he inverse of final rade coun K raised o he power.44. Higher rade coun socks have lower residual VWAP risk because he variance of he relaive volume process is lower for hese socks. A pracical VWAP rading sraegy using rading bins is consruced. The addiional VWAP risk from using discree volume bins o rade VWAP is esimaed. I is shown ha i depends on he number of bins b as O(b 2 ). 26 28 References 1 Ana Admai and Paul Pfleiderer, A Theory of Inraday Paerns: Volume and Price Variabiliy, Review of Financial Sudies 1 (1988), 3 4. 2 Juumlrgen Amendinger, Iniial enlargemen of filraions and addiional informaion in financial markes, Ph. D. hesis, Berlin Technical Universiy, Berlin, Germany, 3 Thierry Aneacute and Helyee Geman, Order flow, ransacion clock, and normaliy of asse reurns. The Journal of Finance. 55 (2), no. 5, 4 Sephen Berkowiz, Dennis Logue, and Eugene Noser, The Toal Cos of Transacions on he NYSE, Journal of Finance 43 (1988), 5 William Brock and Allan Kleidon, Periodic Marke Closure and Trading Volume: A Model of Inraday Bids and Asks, Journal of Economic Dynamics and Conrol 16 (1992), 6 Peer Clark, Subordinaed sochasic process model wih finie variance for speculaive prices, Economerica 41 (1973). 7 Rama Con, Empirical properies of asse reurns: sylized facs and saisical issues, Quaniaive Finance 1 (21), 8 Mark Coppejans, Ian Domowiz, and Ananh Madhavan, Liquidiy in an Auomaed Aucion, Working Paper. March 21 version. 9 David Cox, Some Saisical Mehods Conneced wih Series of Evens (Wih Discussion), Journal of he Royal Saisical Sociey, B 17 (1955), 1 Rober Engle and Jeff Russell, The Auoregressive Condiional Duraion Model, Economerica 66 (1998), 11 Chrisian Gourieacuteroux, Joanna Jasiak, and Gaeumllle Le Fol, Inra-Day Marke Aciviy, Journal of Financial Markes 2 (1999), 12 Jean Jacod, Grossissemen Iniial, Hypohegravese e Theacuteoregraveme de Girsanov, Seacuteminaire de Calcul Sochasique 198283, Lecure Noes in Mahemaics 1118, Springer (1985), 13 Jean Jacod and Alber Shiryaev, Limi Theorems of Sochasic Processes, Springer, Berlin, 29 14 Thierry Jeulin, Semi-maringales e grossissemen d une filraion, Lecure Noes in Mahemaics 92, Springer (198). 15 Hizuru Konishi, Opimal slice of a VWAP rade, Journal of Financial Markes 5 (22), 16 James McCulloch, Relaive Volume as a Doubly Sochasic Binomial Poin Process, Quaniaive Finance 7 (27), 17 Phillip Proer, Sochasic Inegraion and Differenial Equaions, Springer, 25. 18 Tina Rydberg and Neil Shephard, BIN Models for Trade-by-Trade Daa. Modelling he Number of Trades in a Fixed Inerval of Time, Unpublished Paper. Available from he Nuffield College, Oxford Websie hp:nuff. ox. ac. uk. 19 Marc Yor, Grossissemen de filraions e absolue coninuieacute de noyaux, Lecure Noes in Mahemaics 1118, Springer (1985), 30 A Opimal VWAP Trading Sraegy wih Consrained Trading Rae Proof. Tha eqn 11 is he soluion he he opimal VWAP rading problem wih liquidiy consrained rading rae v v max. min x, v (micro x lambdasigma 2 (x 2 2x EX )) d (17) Subjec o dx d v, v v max, , T, x , x T 1. The case in Figure 7 is considered where he unconsrained rading sraegy of eqn 9 passes hrough he origin and inersecs wih he maximal rading line x R a R lt T. The proof for oher cases when he unconsrained sraegy xi inersecs wih oher he boundaries of D is idenical. x x x L D x R unconsrained rading sraegy R Figure 7: The feasible se D defined by consrains on he rae of rading and boundary condiions. The adjoin variable Psi, , T is calculaed by solving following he equaion: dpsi d micro 2lambdasigma 2 (x 2lambdasigma 2 EX ), Psi R . (18) 29 31 Using inegraion by pars: Psi T x T Psi x T Psi v dpsi d x d . Afer adding his ideniy s lef side o VWAP mean-variance cos and dropping erms ha depend on fixed x and x T he problem of eqn 17 is ransformed o he following: min x, v Where: (micro x lambdasigma 2 (x 2 2x EX )) d min R(Psi, x, v ) d x, v (19) R(Psi, x, v ) micro x lambdasigma 2 (x 2 2x EX ) Psi v dpsi d x Consider he lef arc in x, when v dx d lt v max, and (, R ). Here he rhs of equaion in eqn 18 is zero and herefore Psi . I is easy o check ha: R x (Psi, x x, v v ) , R v (Psi, x x, v v ) , (, R ). Thus R has a minimum on x D a x x v v lt v max everywhere along lef arc of x. and on v , v max a Consider he righ arc of x, when v v max and ( R, T ). Here x is higher han he unconsrained rading sraegy xi defined by eqn 9. Afer decomposing x xi (x xi ) eqn 18 becomes: dpsi d micro 2lambdasigma 2 (xi EX ) 2lambdasigma 2 (x xi ) 2lambdasigma 2 (x xi ) lt Since Psi R , Psi lt, ( R, T ). I is easy o check ha: 3 32 R x (Psi, x x, v v ) , R v (Psi, x x, v v ) Psi lt, ( R, T ) Thus R has minimum on x D a x x. By inspecion he funcion R is a linear funcion of v, so on v , v max i has minimum on v a v v v max everywhere along righ arc of x. Therefore x defined by eqn 11 and v dx d obey consrains in eqn 17 and minimize he inegral of he equivalen mean-variance cos crierion R on x and v a every momen of ime , T and so is he opimal soluion of eqnOptimal VWAP Trading Strategy and Relative Volume Volume Weighted Average Price (VWAP) for a stock is total traded value divided by total traded volume. It is a simple quality of execution measurement popular with institutional traders to measure the price impact of trading stock. This paper uses classic mean-variance optimization to develop VWAP strategies that attempt to trade at better than the market VWAP. These strategies exploit expected price drift by optimally front-loading or back-loading traded volume away from the minimum VWAP risk strategy. Om du har problem med att hämta en fil, kontrollera om du har rätt program för att visa den först. Vid ytterligare problem läs IDEAS hjälp sida. Observera att dessa filer inte finns på IDEAS-webbplatsen. Var tålmodig eftersom filerna kan vara stora. Paper provided by Quantitative Finance Research Centre, University of Technology, Sydney in its series Research Paper Series with number 201.Optimal VWAP Tracking University of Texas at Austin - Red McCombs School of Business Jedrzej Pawel Bialkowski University of Canterbury - Department of Economics and Finance Stathis Tompaidis University of Texas at Austin - McCombs School of Business September 30, 2013 We consider the problem of finding a strategy that tracks the volume weighted average price (VWAP) of a stock, a key measure of execution quality for large orders used by institutional investors. We obtain the optimal, dynamic, VWAP tracking strategy in closed form in a model with general price and volume dynamics and show that it can be extended to incorporate proportional transaction costs. We build a model of intraday volume using the Trade and Quote dataset to empirically test the strategy, both without trading costs and when trading has temporary effects that include the bid-ask spread and depth of the order book, and permanent effects that reflect the potential information content of trades. We find that the implementation cost of the strategy we propose is lower than the cost charged by brokerage houses. Number of Pages in PDF File: 66 Keywords: Volume Weighted Average Price, Algorithmic Trading, Trading Volume, Trading Costs, Dynamic Programming JEL Classification: G12, G29, C61 Date posted: October 1, 2013 Suggested Citation